यदि lim _{x rightarrow 0} frac{alpha e^{x}+be | vedclass

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Question

(C) दिया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha e^{x}+\beta e^{-x}+\gamma \sin x}{x \sin ^{2} x}=\frac{2}{3}$.चूंकि $\sin x \approx x$ है,सीमा $\lim

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$\alpha \beta^{2}+\beta \gamma^{2}+\gamma \alpha^{2}+3=0$

Vedclass · Answer

(C) दिया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha e^{x}+\beta e^{-x}+\gamma \sin x}{x \sin ^{2} x}=\frac{2}{3}$.चूंकि $\sin x \approx x$ है,सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha e^{x}+\beta e^{-x}+\gamma \sin x}{x^{3}}=\frac{2}{3}$ हो जाती है।श्रेणी का विस्तार करने पर: $\alpha(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\dots) + \beta(1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+\dots) + \gamma(x-\frac{x^3}{6}+\dots) = \frac{2}{3}x^3$.सीमा के अस्तित्व के लिए $x^0, x^1, x^2$ के गुणांक शून्य होने चाहिए।$x^0: \alpha + \beta = 0 \implies \beta = -\alpha$.$x^1: \alpha - \beta + \gamma = 0 \implies 2\alpha + \gamma = 0 \implies \gamma = -2\alpha$.$x^3$ का गुणांक $\frac{\alpha}{6} - \frac{\beta}{6} - \frac{\gamma}{6} = \frac{2}{3}$ है।$\alpha = 1, \beta = -1, \gamma = -2$ प्राप्त होता है।विकल्प $C$ गलत है।

यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha e^{x}+\beta e^{-x}+\gamma \sin x}{x \sin ^{2} x}=\frac{2}{3}$,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma \in R$,तो निम्नलिखित में से कौन सा सही $NOT$ है?

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