alpha के सभी संभावित मानों का गुणनफल, जिसके ल | vedclass

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Question

(C) माना $L = \lim_{x 	o 0} \frac{1 - \cos(\alpha x) \cos((\alpha+1)x) \cos((\alpha+2)x)}{\sin^2((\alpha+1)x)}$.जब $x 	o 0$ हो, तब $\cos 	heta \app

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$-1$

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(C) माना $L = \lim_{x 	o 0} \frac{1 - \cos(\alpha x) \cos((\alpha+1)x) \cos((\alpha+2)x)}{\sin^2((\alpha+1)x)}$.जब $x 	o 0$ हो, तब $\cos 	heta \approx 1 - \frac{	heta^2}{2}$ और $\sin 	heta \approx 	heta$ के सन्निकटन का उपयोग करने पर:$L = \lim_{x 	o 0} \frac{1 - (1 - \frac{\alpha^2 x^2}{2})(1 - \frac{(\alpha+1)^2 x^2}{2})(1 - \frac{(\alpha+2)^2 x^2}{2})}{((\alpha+1)x)^2}$.$x^4$ और उससे उच्च घात वाले पदों को उपेक्षित करने पर, अंश इस प्रकार होगा:$1 - (1 - \frac{x^2}{2}(\alpha^2 + (\alpha+1)^2 + (\alpha+2)^2)) = \frac{x^2}{2}(3\alpha^2 + 6\alpha + 5)$.अतः, $L = \frac{3\alpha^2 + 6\alpha + 5}{2(\alpha+1)^2} = 2$.$3\alpha^2 + 6\alpha + 5 = 4(\alpha^2 + 2\alpha + 1) = 4\alpha^2 + 8\alpha + 4$.सरल करने पर $\alpha^2 + 2\alpha - 1 = 0$ प्राप्त होता है।इस द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$ है।

$\alpha$ के सभी संभावित मानों का गुणनफल, जिसके लिए $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1 - \cos(\alpha x) \cos((\alpha + 1)x) \cos((\alpha + 2)x)}{\sin^2((\alpha + 1)x)} \right) = 2$ है, है:

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