यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है और omega neq 1 इ | vedclass

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Question

(C) हमारे पास व्यंजक $\left|e^{\sum_{k=0}^n {^nC_k} \omega^k}\right|$ है,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=0}^n

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$4$

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(C) हमारे पास व्यंजक $\left|e^{\sum_{k=0}^n {^nC_k} \omega^k}ight|$ है,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=0}^n {^nC_k} \omega^k = (1+\omega)^n$ है।चूंकि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए $1+\omega = -\omega^2$ है।अतः,घातांक $(-\omega^2)^n = (-1)^n \omega^{2n}$ है।हमें $\left|e^{(-1)^n \omega^{2n}}ight|$ का मान ज्ञात करना है।माना $z = (-1)^n \omega^{2n}$ है। तब $|e^z| = e^{	ext{Re}(z)}$ होगा।$n$ के विभिन्न मानों के लिए,वास्तविक भाग $	ext{Re}(z)$ के मान $1, -1, 1/2, -1/2$ प्राप्त होते हैं।इस प्रकार,संभावित मान $e^1, e^{-1}, e^{1/2}, e^{-1/2}$ हैं।कुल $4$ संभावित मान हैं।

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है और $\omega \neq 1$ इकाई का घनमूल है,तो $\left|e^{\sum_{k=0}^n {^nC_k} \omega^k}\right|$ के संभावित मानों की संख्या है

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