यदि (20)^{19} + 2(21)(20)^{18} + 3(21)^2(20)^ | vedclass

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Question

(C) माना $S = (20)^{19} + 2(21)(20)^{18} + 3(21)^2(20)^{17} + \ldots + 20(21)^{19}$ है।$(20)^{19}$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $k = 1 + 2(\fra

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$400$

Vedclass · Answer

(C) माना $S = (20)^{19} + 2(21)(20)^{18} + 3(21)^2(20)^{17} + \ldots + 20(21)^{19}$ है।$(20)^{19}$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $k = 1 + 2(\frac{21}{20}) + 3(\frac{21}{20})^2 + \ldots + 20(\frac{21}{20})^{19}$।माना $x = \frac{21}{20}$ है। अतः $k = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots + 20x^{19}$।$x$ से गुणा करने पर,$kx = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots + 20x^{20}$।दोनों समीकरणों को घटाने पर: $k(1 - x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{19} - 20x^{20}$।गुणोत्तर श्रेणी के योग का उपयोग करने पर: $k(1 - x) = \frac{1 - x^{20}}{1 - x} - 20x^{20}$।यहाँ $1 - x = 1 - \frac{21}{20} = -\frac{1}{20}$ है,अतः $k(-\frac{1}{20}) = \frac{1 - x^{20}}{-1/20} - 20x^{20} = -20(1 - x^{20}) - 20x^{20}$।$k(-\frac{1}{20}) = -20 + 20x^{20} - 20x^{20} = -20$।अतः,$k = (-20) 	imes (-20) = 400$।

यदि $(20)^{19} + 2(21)(20)^{18} + 3(21)^2(20)^{17} + \ldots + 20(21)^{19} = k (20)^{19}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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