જો $\sin \left(\frac{y}{x}\right)=\log |x|+\frac{\alpha}{2}$ એ વિકલ સમીકરણ $x \cos \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x$ નો ઉકેલ હોય અને $y(1)=\frac{\pi}{3}$ હોય,તો $\alpha^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x, y)$ અને $g(x, y)$ સમાન ક્રમના સમપરિમાણીય વિધેયો છે. જો $x=Vy$ એ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=\frac{f(x, y)}{g(x, y)}$ ને $\frac{dV}{dy}=\frac{1}{y}(F(V))$ સ્વરૂપમાં ઘટાડે,તો $F(V)=$

જો વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-2}{x-y}$ નો ઉકેલ વક્ર બિંદુ $(2,1)$ માંથી પસાર થતો હોય અને તે $\tan^{-1}\left(\frac{y-1}{x-1}\right) - \frac{1}{\beta} \log_e\left(\alpha + \left(\frac{y-1}{x-1}\right)^2\right) = \log_e|x-1|$ હોય,તો $5\beta + \alpha$ ની કિંમત શોધો.

$y^2 dx + (x^2 - xy + y^2) dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો:

નીચેના વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ શોધો: $\{x \cos (y/x) + y \sin (y/x)\} y dx = \{y \sin (y/x) - x \cos (y/x)\} x dy$.

વિકલ સમીકરણ $x \cdot \sin \left(\frac{y}{x}\right) dy = \left[y \cdot \sin \left(\frac{y}{x}\right) - x\right] dx$ નો ઉકેલ શોધો.