જો $\lambda > 0$ હોય,અને $\vec{a} = \hat{i} + \lambda \hat{j} - 3 \hat{k}$ તથા $\vec{b} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય. જો સદિશો $\vec{a} + \vec{b}$ અને $\vec{a} - \vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોય,તો $(14 \cos \theta)^2$ ની કિંમત શોધો.

ત્રણ સદિશો $\vec a, \vec b, \vec c$ એકબીજા સાથે લઘુકોણ બનાવે છે જેથી $|\vec a| = 2, |\vec b| = 3, |\vec c| = 9$ અને $\vec a$ નો $\vec b$ પર,$\vec b$ નો $\vec c$ પર અને $\vec c$ નો $\vec a$ પરના પ્રક્ષેપની લંબાઈ અનુક્રમે સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. જો $\vec a$ અને $\vec b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{5\pi}{12}$ હોય અને $\vec c$ અને $\vec a$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{12}$ હોય,તો $\vec b$ અને $\vec c$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

બિંદુ $P(-\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k})$ નું બિંદુ $A(2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k})$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ ને સમાંતર રેખાથી અંતર શોધો.

ધારો કે $ABC$ એક ત્રિકોણ છે જેથી $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c}$,$|\overrightarrow{a}| = 6\sqrt{2}$,$|\overrightarrow{b}| = 2\sqrt{3}$,અને $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 12$. વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(S1): |(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b})| - |\overrightarrow{c}| = 6(2\sqrt{2} - 1)$
$(S2): \angle ABC = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$.
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $\vec{AB} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 5 \hat{k}$ અને $\vec{AD} = \hat{i} + 2 \hat{j} + \lambda \hat{k}$, $\lambda \in R$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણ $\vec{AC}$ પર સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ નો પ્રક્ષેપ $1$ એકમ લંબાઈનો છે. જો $\alpha, \beta$, જ્યાં $\alpha > \beta$, એ સમીકરણ $\lambda^2 x^2 - 6 \lambda x + 5 = 0$ ના બીજ હોય, તો $2 \alpha - \beta$ ની કિંમત શોધો.

ત્રિકોણ $ABC$ જેના શિરોબિંદુઓ $A(1, 0, 0)$,$B(0, 1, 0)$ અને $C(0, 0, 1)$ હોય,તો ખૂણો $A = \dots$