यदि $\int \operatorname{cosec}^5 x \, dx = \alpha \cot x \operatorname{cosec} x \left(\operatorname{cosec}^2 x + \frac{3}{2}\right) + \beta \log_e \left|\tan \frac{x}{2}\right| + C$,जहाँ $\alpha, \beta \in R$ और $C$ समाकलन स्थिरांक है,तो $8(\alpha + \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\frac{e^{-\pi/4} + \int_0^{\pi/4} e^{-x} \tan^{50} x \, dx}{\int_0^{\pi/4} e^{-x} (\tan^{49} x + \tan^{51} x) \, dx}$ का मान है

$\int \frac{\sec ^2 x}{\sin ^7 x} d x - \int \frac{7}{\sin ^7 x} d x =$

$\int_0^{\pi /2} {\left( {\frac{\theta }{{\sin \theta }}} \right)^2 d\theta = } $

$\int(\sqrt{x+\sqrt{12x-36}}+\sqrt{x-\sqrt{12x-36}}) dx=$

मान लीजिए $\int {{\sec }^{ - 1}}\left[ { - {\sin }^2x} \right]dx = f(x) + C$,($x \neq 0$ के लिए मान्य) जहाँ $[k]$ का अर्थ $k$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है और $f(0) = 0$ है। तो $x = 2$ पर ${\left( {f\left( {\frac{8}{{\pi x}}} \right)} \right)''}$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $'$ अवकलन को दर्शाता है)।