यदि sumlimits_{k = 0}^{100} {{i^k}} = x + iy | vedclass

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Question

(C) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum\limits_{k = 0}^{100} i^k = 1 + i + i^2 + \dots + i^{100}$.यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $

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$x = 1, y = 0$

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(C) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum\limits_{k = 0}^{100} i^k = 1 + i + i^2 + \dots + i^{100}$.यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 1$,सार्व अनुपात $r = i$,और पदों की संख्या $n = 101$ है।गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।मान रखने पर,$S_{101} = \frac{1(1 - i^{101})}{1 - i}$ प्राप्त होता है।चूंकि $i^4 = 1$,इसलिए $i^{101} = (i^4)^{25} 	imes i = 1^{25} 	imes i = i$ है।अतः,$S_{101} = \frac{1 - i}{1 - i} = 1$ है।इस प्रकार,$1 + 0i = x + iy$ है।वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $x = 1$ और $y = 0$ प्राप्त होता है।

यदि $\sum\limits_{k = 0}^{100} {{i^k}} = x + iy$ है,तो $x$ और $y$ के मान हैं:

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$\theta$ का एक मान जिसके लिए $\frac{2 + 3i \sin \theta}{1 - 2i \sin \theta}$ शुद्ध काल्पनिक है,वह है:

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