જો {z_1} અને {z_2} એવી સંકર સંખ્યાઓ હોય કે જે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે ${z_1} = a + ib$ અને ${z_2} = c - id$,જ્યાં $a > 0$ અને $d > 0$. આપેલ છે કે $|{z_1}| = |{z_2}|$,તેથી ${a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2}$. ધારો

Vedclass · Accepted Answer

શુદ્ધ કાલ્પનિક

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે ${z_1} = a + ib$ અને ${z_2} = c - id$,જ્યાં $a > 0$ અને $d > 0$. આપેલ છે કે $|{z_1}| = |{z_2}|$,તેથી ${a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2}$. ધારો કે $w = \frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}}$. તેથી $\bar{w} = \frac{{\bar{z_1} + \bar{z_2}}}{{\bar{z_1} - \bar{z_2}}}$. $|{z_1}| = |{z_2}| = r$ હોવાથી,$\bar{z_1} = \frac{r^2}{z_1}$ અને $\bar{z_2} = \frac{r^2}{z_2}$ મળે. આ કિંમતો મૂકતા,$\bar{w} = \frac{{\frac{r^2}{z_1} + \frac{r^2}{z_2}}}{{\frac{r^2}{z_1} - \frac{r^2}{z_2}}} = \frac{{z_2 + z_1}}{{z_2 - z_1}} = -\frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}} = -w$. $\bar{w} = -w$ હોવાથી,સંકર સંખ્યા $w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે. ઉદાહરણ તરીકે,${z_1} = 2 + i$ અને ${z_2} = 1 - 2i$ લેતા,$\frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}} = \frac{{3 - i}}{{1 + 3i}} = -i$ મળે,જે શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.

Similar Questions

આર્ગેન્ડ સમતલમાં બિંદુ $z$ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી $\operatorname{Re} \left( \frac{iz + 1}{iz - 1} \right) = 2$ થાય. તો $z$ નો બિંદુપથ શું છે?

જો $z-2-3i$ નો કંપવિસ્તાર (amplitude) $\frac{\pi}{4}$ હોય,તો $z=x+iy$ નો બિંદુપથ શું છે?

$z \in \mathbb{C}$ માટે,જો $(|z-3 \sqrt{2}| + |z-p \sqrt{2} i|)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $5 \sqrt{2}$ હોય,તો $p$ નું એક મૂલ્ય $.......$ છે.

જો $z$ એ એક સંકર સંખ્યા હોય જે $|\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)|=4$ નું સમાધાન કરે છે,તો $|z|$ શું ન હોઈ શકે?

સમીકરણ $\overline{b}z + b\overline{z} = c$,જ્યાં $b$ એ શૂન્યતર સંકર અચળાંક છે અને $c$ વાસ્તવિક છે,તે શું દર્શાવે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module