જો y = y(x) એ વિકલ સમીકરણ sqrt{4-x^2} frac{dy | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{4-x^2} \frac{dy}{dx} + y \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) = \left(\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)^3$ છે. $\sqrt{

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{4-x^2} \frac{dy}{dx} + y \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) = \left(\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)^3$ છે. $\sqrt{4-x^2}$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}} y = \frac{(\sin^{-1}(x/2))^3}{\sqrt{4-x^2}}$ મળે. આ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું છે,જ્યાં $P(x) = \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}}$ અને $Q(x) = \frac{(\sin^{-1}(x/2))^3}{\sqrt{4-x^2}}$. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\sin^{-1}(x/2)}{\sqrt{4-x^2}} dx}$. ધારો કે $u = \sin^{-1}(x/2)$,તો $du = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$. તેથી,$IF = e^{\int u du} = e^{u^2/2} = e^{\frac{(\sin^{-1}(x/2))^2}{2}}$. ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે. $y e^{\frac{(\sin^{-1}(x/2))^2}{2}} = \int u^3 e^{u^2/2} du + C$. ધારો કે $t = u^2/2$,તો $dt = u du$. સંકલન $\int 2t e^t dt = 2e^t(t-1) + C$ થાય. કિંમત મૂકતા,$y = u^2 - 2 + C e^{-u^2/2}$. $y(2) = \frac{\pi^2-8}{4}$ અને $u = \pi/2$ લેતા,$C = 0$ મળે. તેથી,$y = u^2 - 2 = (\sin^{-1}(x/2))^2 - 2$. $x=0$ માટે,$y(0) = -2$. તેથી,$y^2(0) = (-2)^2 = 4$.

Similar Questions

જો $y=y(x)$ એ $\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} y = x$ નું વિશિષ્ટ ઉકેલ હોય અને $y(0)=1$ હોય,તો $y\left(\frac{1}{2}\right) = $

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\cos x \frac{dy}{dx} + 2y \sin x = \sin 2x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x \in (0, \frac{\pi}{2})$. જો $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ હોય,તો $y(\frac{\pi}{4})$ ની કિંમત શોધો.

$x(x-1) \frac{dy}{dx} = x^3(2x-1) + (x-2)y$ નું વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $y+\frac{d}{d x}(x y)=x(\sin x+\log x)$ હોય,તો $y$ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module