ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ એક સતત વિધેય છે જે તમામ $x \in R$ માટે $f(x)=x+\int_0^x f(t) dt$ નું પાલન કરે છે. તો,ગણ $S=\{x \in R: f(x)=0\}$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $g$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $\int_0^x g(t) dt = x - \int_0^x tg(t) dt, x \geq 0$ માટે. ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - y \tan x = 2(x+1) \sec x g(x), x \in [0, \frac{\pi}{2})$ નું સમાધાન કરે છે. જો $y(0) = 0$ હોય,તો $y(\frac{\pi}{3})$ ની કિંમત શોધો.

$x(x-1) \frac{dy}{dx} = x^3(2x-1) + (x-2)y$ નું વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2x^2+11x+13}{x^3+6x^2+11x+6}\right)y = \frac{x+3}{x+1}$,જ્યાં $x > -1$,નો ઉકેલ વક્ર છે,જે બિંદુ $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે. તો $y(1)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\cos x \frac{dy}{dx} + 2y \sin x = \sin 2x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x \in (0, \frac{\pi}{2})$. જો $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ હોય,તો $y(\frac{\pi}{4})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x-x^{3}) dy=(y+yx^{2}-3x^{4}) dx, x>2$ નો ઉકેલ છે. જો $y(3)=3$ હોય,તો $y(4)$ ની કિંમત શોધો: