मान लीजिए f: R rightarrow R एक सतत फलन है जो | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकल समीकरण $f(x) = x + \int_0^x f(t) dt$ है। लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता

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(A) दिया गया समाकल समीकरण $f(x) = x + \int_0^x f(t) dt$ है। लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $f'(x) = 1 + f(x)$. यह $f'(x) - f(x) = 1$ रूप का एक रैखिक प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है। समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है। दोनों पक्षों को $e^{-x}$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है: $e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x}$. $\frac{d}{dx} (f(x) e^{-x}) = e^{-x}$. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $f(x) e^{-x} = \int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$. $f(x) = -1 + C e^x$. मूल समीकरण से,$x=0$ पर,$f(0) = 0 + \int_0^0 f(t) dt = 0$. $f(x) = -1 + C e^x$ में $x=0$ रखने पर: $0 = -1 + C(e^0) \Rightarrow C = 1$. अतः,$f(x) = e^x - 1$. समुच्चय $S = \{x \in R : f(x) = 0\}$ में अवयवों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $e^x - 1 = 0$ को हल करते हैं। $e^x = 1 \Rightarrow x = 0$. केवल एक ही हल प्राप्त होता है,$x=0$। इसलिए,समुच्चय $S$ में अवयवों की संख्या $1$ है।

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