यदि cos (u + iv) = alpha + ibeta है,तो {alpha | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $\cos (u + iv) = \alpha + i\beta$. सर्वसमिका $\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर: $\cos u \cos (iv) - \sin

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$\cos ^2 u + \cosh ^2 v$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $\cos (u + iv) = \alpha + i\beta$. सर्वसमिका $\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर: $\cos u \cos (iv) - \sin u \sin (iv) = \alpha + i\beta$. चूंकि $\cos (iv) = \cosh v$ और $\sin (iv) = i \sinh v$,हमें प्राप्त होता है: $\cos u \cosh v - i \sin u \sinh v = \alpha + i\beta$. वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $\alpha = \cos u \cosh v$ और $\beta = - \sin u \sinh v$. अब,${\alpha ^2} + {\beta ^2} + 1$ की गणना करने पर: ${\alpha ^2} + {\beta ^2} + 1 = (\cos u \cosh v)^2 + (- \sin u \sinh v)^2 + 1$ $= \cos ^2 u \cosh ^2 v + \sin ^2 u \sinh ^2 v + 1$. सर्वसमिका $\cosh ^2 v - \sinh ^2 v = 1$ का उपयोग करने पर: $= \cos ^2 u \cosh ^2 v + \sin ^2 u \sinh ^2 v + (\cosh ^2 v - \sinh ^2 v)$ $= \cos ^2 u \cosh ^2 v + \sinh ^2 v (\sin ^2 u - 1) + \cosh ^2 v$ $= \cos ^2 u \cosh ^2 v - \sinh ^2 v \cos ^2 u + \cosh ^2 v$ $= \cos ^2 u (\cosh ^2 v - \sinh ^2 v) + \cosh ^2 v$ $= \cos ^2 u (1) + \cosh ^2 v = \cos ^2 u + \cosh ^2 v$.

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $a \bar{a}$	$(A)$ $-\frac{\pi}{3}$
$(ii)$ $\arg \left(\frac{1}{\bar{a}}\right)$	$(B)$ $-i \sqrt{3}$
$(iii)$ $a - \bar{a}$	$(C)$ $2i / \sqrt{3}$
$(iv)$ $\operatorname{Im}\left(\frac{4}{3a}\right)$	$(D)$ $1$
	$(E)$ $\pi / 3$
	$(F)$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

यदि $\cos (u + iv) = \alpha + i\beta$ है,तो ${\alpha ^2} + {\beta ^2} + 1$ का मान क्या होगा?

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