यदि $2i$,$f(z) = z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8 = 0$ का एक मूल है,तो निम्नलिखित में से कौन $f(z) = 0$ का मूल नहीं हो सकता है?

यदि $(x+iy)^{1/3} = a+ib$ जहाँ $x, y, a, b \in R$ और $i = \sqrt{-1}$ है,तो $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = $

$\begin{aligned} & \text{यदि } z=e^{i \theta} \text{ और } \frac{3 \cos 3 \theta+2 \cos 2 \theta+5 \cos 5 \theta}{3 \sin 3 \theta+2 \sin 2 \theta+5 \sin 5 \theta} \\ & =\frac{i \sum_{r=0}^{10} a_r z^r}{\sum_{r=0}^{10} b_r z^r} \text{ तो } \frac{\left(\sum_{r=0}^{10} a_r+\sum_{r=0}^{10} b_r\right)}{10}= \end{aligned}$

यदि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो $\left(\frac{1-\sqrt{3} i}{2}\right)^{2020}+\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^{2026} +\sin \left(\sum_{j=1}^6(j+\omega)(j+\omega^2) \frac{3 \pi}{152}\right)=$

धनात्मक पूर्णांकों $n_1, n_2$ के लिए, व्यंजक $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$, जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है, एक वास्तविक संख्या है यदि और केवल यदि:

मान लीजिए $S$ उन सभी $(\alpha, \beta)$ का समुच्चय है जहाँ $\pi < \alpha, \beta < 2\pi$,जिनके लिए सम्मिश्र संख्या $\frac{1-i \sin \alpha}{1+2i \sin \alpha}$ शुद्ध काल्पनिक है और $\frac{1+i \cos \beta}{1-2i \cos \beta}$ शुद्ध वास्तविक है। मान लीजिए $Z_{\alpha \beta} = \sin 2\alpha + i \cos 2\beta$ जहाँ $(\alpha, \beta) \in S$ है। तब $\sum_{(\alpha, \beta) \in S} \left(i Z_{\alpha \beta} + \frac{1}{i \bar{Z}_{\alpha \beta}}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।