यदि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो $\left(\frac{1-\sqrt{3} i}{2}\right)^{2020}+\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^{2026} +\sin \left(\sum_{j=1}^6(j+\omega)(j+\omega^2) \frac{3 \pi}{152}\right)=$

मान लीजिए $\omega = e^{i \pi / 3}$,और $a, b, c, x, y, z$ शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ हैं,जैसे कि $a+b+c = x$,$a+b \omega + c \omega^2 = y$,और $a+b \omega^2 + c \omega = z$ है। तो $\frac{|x|^2+|y|^2+|z|^2}{|a|^2+|b|^2+|c|^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $z = x + iy$ और $x^2 + y^2 = 1$ है,तो $\frac{1 + x + iy}{1 + x - iy} = $

यदि एक सम्मिश्र संख्या $z$ समीकरण $z + \sqrt{2} |z + 1| + i = 0$ को संतुष्ट करती है,तो $|z|$ का मान ज्ञात कीजिए।

समीकरणों $\left| \frac{z - 12}{z - 8i} \right| = \frac{5}{3}$ और $\left| \frac{z - 4}{z - 8} \right| = 1$ को संतुष्ट करने वाली सम्मिश्र संख्या $z$ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S$ उन सभी $(\alpha, \beta)$ का समुच्चय है जहाँ $\pi < \alpha, \beta < 2\pi$,जिनके लिए सम्मिश्र संख्या $\frac{1-i \sin \alpha}{1+2i \sin \alpha}$ शुद्ध काल्पनिक है और $\frac{1+i \cos \beta}{1-2i \cos \beta}$ शुद्ध वास्तविक है। मान लीजिए $Z_{\alpha \beta} = \sin 2\alpha + i \cos 2\beta$ जहाँ $(\alpha, \beta) \in S$ है। तब $\sum_{(\alpha, \beta) \in S} \left(i Z_{\alpha \beta} + \frac{1}{i \bar{Z}_{\alpha \beta}}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।