यदि एक सम्मिश्र संख्या $z$ समीकरण $z + \sqrt{2} |z + 1| + i = 0$ को संतुष्ट करती है,तो $|z|$ का मान ज्ञात कीजिए।

द्विघात समीकरण (biquadratic equation),जिसके दो मूल $1+i$ और $1-\sqrt{2}$ हैं,वह है

मान लीजिए $z = 1 + ai$ एक सम्मिश्र संख्या है,$a > 0$,इस प्रकार कि $z^3$ एक वास्तविक संख्या है। तो योग $1 + z + z^2 + .... + z^{11}$ किसके बराबर है?

यदि $P, Q$ और $R$ एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोण हैं और $\angle P = \frac{\pi}{2}$ है, तो $\left(\cos \frac{P}{3} - i \sin \frac{P}{3}\right)^3 + (\cos Q + i \sin Q) (\cos R - i \sin R) + (\cos P - i \sin P) (\cos Q - i \sin Q) (\cos R - i \sin R)$ का मान ज्ञात कीजिए।

कथनों में से:
$(S1) :$ समुच्चय $\{z \in \mathbb{C} - \{-i\} : |z|=1 \text{ और } \frac{z-i}{z+i} \text{ विशुद्ध वास्तविक है}\}$ में ठीक दो अवयव हैं,और
$(S2) :$ समुच्चय $\{z \in \mathbb{C} - \{-1\} : |z|=1 \text{ और } \frac{z-1}{z+1} \text{ विशुद्ध काल्पनिक है}\}$ में अनंत अवयव हैं.

माना $n$ समीकरण $z^{2}+3 \bar{z}=0$ के हलों की संख्या को दर्शाता है,जहाँ $z$ एक सम्मिश्र संख्या है। तो $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n^{k}}$ का मान किसके बराबर है?