मान लीजिए z = 1 + ai एक सम्मिश्र संख्या है,a | vedclass

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Question

(B) $z = 1 + ai$$z^3 = (1 + ai)^3 = 1 + 3ai - 3a^2 - a^3i = (1 - 3a^2) + i(3a - a^3)$चूंकि $z^3$ वास्तविक है,काल्पनिक भाग शून्य होगा:$3a - a^3 = 0 \Ri

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$-1365\sqrt{3}i$

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(B) $z = 1 + ai$$z^3 = (1 + ai)^3 = 1 + 3ai - 3a^2 - a^3i = (1 - 3a^2) + i(3a - a^3)$चूंकि $z^3$ वास्तविक है,काल्पनिक भाग शून्य होगा:$3a - a^3 = 0 \Rightarrow a = \sqrt{3}$ (क्योंकि $a > 0$).$z = 1 + \sqrt{3}i = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$.योग $S = \frac{z^{12} - 1}{z - 1}$.$z^{12} = 2^{12}(\cos 4\pi + i \sin 4\pi) = 4096$.$S = \frac{4096 - 1}{\sqrt{3}i} = \frac{4095}{\sqrt{3}i} = -1365\sqrt{3}i$.

मान लीजिए $z = 1 + ai$ एक सम्मिश्र संख्या है,$a > 0$,इस प्रकार कि $z^3$ एक वास्तविक संख्या है। तो योग $1 + z + z^2 + .... + z^{11}$ किसके बराबर है?

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