धनात्मक पूर्णांकों n_1, n_2 के लिए, व्यंजक (1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) दिया गया व्यंजक: $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$ है।चूँकि $i^3 = -i$, $i^5 = i$, और $i^7 = -i$, व्यंजक इस प्

Vedclass · Accepted Answer

$n_1 > 0, n_2 > 0$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया व्यंजक: $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$ है।चूँकि $i^3 = -i$, $i^5 = i$, और $i^7 = -i$, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:$(1 + i)^{n_1} + (1 - i)^{n_1} + (1 + i)^{n_2} + (1 - i)^{n_2}$।माना $z = (1 + i)^{n} + (1 - i)^{n}$ है।ध्रुवीय रूप $1 + i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ और $1 - i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$ का उपयोग करने पर:$z = (\sqrt{2})^n (e^{in\pi/4} + e^{-in\pi/4}) = 2^{n/2} \cdot 2 \cos(n\pi/4) = 2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$।चूँकि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$ हमेशा एक वास्तविक संख्या होती है, इसलिए ऐसे दो पदों का योग भी हमेशा वास्तविक होता है।अतः, यह व्यंजक सभी धनात्मक पूर्णांकों $n_1$ और $n_2$ के लिए एक वास्तविक संख्या है।

Similar Questions

$\cos (x + iy)$ का मान क्या है?

यदि सम्मिश्र संख्याएँ $z_1, z_2$ और मूल बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं,तो $z_1^2 + z_2^2 = $

यदि $f(x)$ परिमेय गुणांकों वाला $n$ घात का एक बहुपद है और $1+2i, 2-\sqrt{3}$ तथा $5$ इसके तीन मूल हैं,तो $n$ का न्यूनतम मान क्या है?

मान लीजिए $A = \{\theta \in (0, 2\pi) : \frac{1+2i \sin \theta}{1-i \sin \theta} \text{शुद्ध काल्पनिक है} \}$। तो $A$ के अवयवों का योग क्या है?

द्विघात समीकरण (biquadratic equation),जिसके दो मूल $1+i$ और $1-\sqrt{2}$ हैं,वह है

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module