ધન પૂર્ણાંકો n_1, n_2 માટે, પદાવલિ (1 + i)^{n | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ પદાવલિ: $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$.$i^3 = -i$, $i^5 = i$, અને $i^7 = -i$ હોવાથી, પદાવલિ નીચે મુજબ

Vedclass · Accepted Answer

$n_1 > 0, n_2 > 0$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ પદાવલિ: $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$.$i^3 = -i$, $i^5 = i$, અને $i^7 = -i$ હોવાથી, પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:$(1 + i)^{n_1} + (1 - i)^{n_1} + (1 + i)^{n_2} + (1 - i)^{n_2}$.ધારો કે $z = (1 + i)^{n} + (1 - i)^{n}$.ધ્રુવીય સ્વરૂપ $1 + i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ અને $1 - i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$ નો ઉપયોગ કરતા:$z = (\sqrt{2})^n (e^{in\pi/4} + e^{-in\pi/4}) = 2^{n/2} \cdot 2 \cos(n\pi/4) = 2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$.કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$ હંમેશા વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી, આવા બે પદોનો સરવાળો પણ હંમેશા વાસ્તવિક જ રહે છે.તેથી, આ પદાવલિ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $n_1$ અને $n_2$ માટે વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

ધન પૂર્ણાંકો $n_1, n_2$ માટે, પદાવલિ $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$, જ્યાં $i = \sqrt{-1}$ છે, તે વાસ્તવિક સંખ્યા છે જો અને માત્ર જો:

Similar Questions

જે સમીકરણના ઉકેલો એ $\bar{z}=i z^2$ સમીકરણના શૂન્યતર ઉકેલો હોય તે સમીકરણ કયું છે?

જો $a, b, c$ અને $d \in \mathbb{R}$ એવા હોય કે જેથી $a^2+b^2=4$ અને $c^2+d^2=2$ અને જો $(a+ib)^2=(c+id)^2(x+iy)$ હોય,તો $x^2+y^2$ ની કિંમત શોધો.

જો $x = -5 + 2\sqrt{-4}$ હોય,તો પદાવલિ $x^4 + 9x^3 + 35x^2 - x + 4$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ એ સમીકરણ $z^2 + 4z - (1 + 12i) = 0$ ના ભિન્ન ઉકેલો છે. તો $|z_1|^2 + |z_2|^2$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module