यदि {tan ^{ - 1}}(alpha + ibeta ) = x + iy है | vedclass

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Question

(A) दिया गया है ${	an ^{ - 1}}(\alpha + i\beta ) = x + iy$। दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\alpha + i\beta = 	an (x + iy) \dots (i)$। दोनों पक्षों

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$\frac{1}{2}{	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\alpha }}{{1 - {\alpha ^2} - {\beta ^2}}}} ight)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है ${	an ^{ - 1}}(\alpha + i\beta ) = x + iy$। दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\alpha + i\beta = 	an (x + iy) \dots (i)$। दोनों पक्षों का सम्मिश्र संयुग्मी लेने पर,$\alpha - i\beta = 	an (x - iy) \dots (ii)$। सूत्र $	an (A + B) = \frac{	an A + 	an B}{1 - 	an A 	an B}$ का उपयोग करने पर: $	an 2x = 	an [(x + iy) + (x - iy)] = \frac{	an (x + iy) + 	an (x - iy)}{1 - 	an (x + iy) 	an (x - iy)}$। $(i)$ और $(ii)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर: $	an 2x = \frac{(\alpha + i\beta ) + (\alpha - i\beta )}{1 - (\alpha + i\beta )(\alpha - i\beta )} = \frac{2\alpha }{1 - (\alpha ^2 + \beta ^2)}$। अतः,$2x = 	an ^{-1} \left( \frac{2\alpha }{1 - \alpha ^2 - \beta ^2} ight)$। इस प्रकार,$x = \frac{1}{2} 	an ^{-1} \left( \frac{2\alpha }{1 - \alpha ^2 - \beta ^2} ight)$।

यदि ${\tan ^{ - 1}}(\alpha + i\beta ) = x + iy$ है,तो $x =$

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