यदि ${z_1} = a + ib$ और ${z_2} = c + id$ ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि $|{z_1}| = |{z_2}| = 1$ और $R({z_1}\overline {{z_2}} ) = 0$ है,तो सम्मिश्र संख्याओं का युग्म ${w_1} = a + ic$ और ${w_2} = b + id$ क्या संतुष्ट करता है?

मान लीजिए $S = \{z \in \mathbb{C} : z^2 + 4z + 16 = 0\}$ है। तो $\sum_{z \in S} |z + \sqrt{3}i|^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $x+\frac{1}{x}=2 \sin \alpha$ और $y+\frac{1}{y}=2 \cos \beta$ है,तो $x^3 y^3+\frac{1}{x^3 y^3}=$

मान लीजिए $z$ एक सम्मिश्र संख्या है जिसका काल्पनिक भाग शून्य नहीं है। यदि $\frac{2+3z+4z^2}{2-3z+4z^2}$ एक वास्तविक संख्या है,तो $|z|^2$ का मान क्या है?

एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए,मान लीजिए $\arg(z)$ मुख्य कोणांक को दर्शाता है जहाँ $-\pi < \arg(z) \leq \pi$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $FALSE$ (असत्य) है/हैं?
$(A)$ $\arg(-1-i) = \frac{\pi}{4}$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$
$(B)$ फलन $f: \mathbb{R} \rightarrow (-\pi, \pi]$,जो $f(t) = \arg(-1+it)$ द्वारा परिभाषित है,$\mathbb{R}$ के सभी बिंदुओं पर सतत है,जहाँ $i = \sqrt{-1}$
$(C)$ किन्हीं दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए,$\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) - \arg(z_1) + \arg(z_2)$,$2\pi$ का एक पूर्णांक गुणज है।
$(D)$ किन्हीं तीन दिए गए भिन्न सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ और $z_3$ के लिए,$\arg\left(\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}\right) = \pi$ शर्त को संतुष्ट करने वाले बिंदु $z$ का बिंदुपथ एक सीधी रेखा पर स्थित है।

यदि $z_1 = 2 - 3i$ और समीकरण $z^3 + bz^2 + cz + d = 0$ के मूल $i$,$z_1$ और $\bar{z}_1$ हैं,तो $b + c + d =$