यदि $3 + 3\alpha + 3\alpha^2 + \dots \infty = \frac{45}{8}$ है,तो $\alpha$ का मान क्या होगा?

$x \in \mathbb{R}$ के लिए,मान लीजिए $[x]$ सबसे बड़ा पूर्णांक $\le x$ दर्शाता है। श्रेणी $\left[ -\frac{1}{3} \right] + \left[ -\frac{1}{3} - \frac{1}{100} \right] + \left[ -\frac{1}{3} - \frac{2}{100} \right] + \dots + \left[ -\frac{1}{3} - \frac{99}{100} \right]$ का योग ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा की लंबाई $a$ है। त्रिभुज $ABC$ की सभी भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़कर एक नया त्रिभुज बनाया जाता है और यही प्रक्रिया अनंत बार दोहराई जाती है। यदि $P$ परिमापों का योग है और $Q$ इस प्रक्रिया में बने सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग है,तो:

श्रेणी $1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots$ का योग क्या है?

यदि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग उनके योग से $330$ अधिक है,तो $n = $

श्रेणी $1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \dots \infty$ का योग क्या होगा?