यदि n = 1, 2, 3, dots के लिए {t_n} = frac{1}{ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है ${t_n} = \frac{1}{4}(n + 2)(n + 3)$.हमें योग $S = \sum_{n=1}^{2003} \frac{1}{t_n} = \sum_{n=1}^{2003} \frac{4}{(n+2)(n+3)}$ ज्ञात करना

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$\frac{4006}{3009}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है ${t_n} = \frac{1}{4}(n + 2)(n + 3)$.हमें योग $S = \sum_{n=1}^{2003} \frac{1}{t_n} = \sum_{n=1}^{2003} \frac{4}{(n+2)(n+3)}$ ज्ञात करना है।आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(n+2)(n+3)} = \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}$.अतः,$S = 4 \sum_{n=1}^{2003} \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} ight)$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:$S = 4 \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} ight) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} ight) + \dots + \left( \frac{1}{2005} - \frac{1}{2006} ight) ight]$.$S = 4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2006} ight) = 4 \left( \frac{2006 - 3}{3 	imes 2006} ight) = 4 	imes \frac{2003}{6018} = \frac{8012}{6018} = \frac{4006}{3009}$.

यदि $n = 1, 2, 3, \dots$ के लिए ${t_n} = \frac{1}{4}(n + 2)(n + 3)$ है,तो $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \frac{1}{t_3} + \dots + \frac{1}{t_{2003}} = $

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श्रेणी $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ के $n$ पदों का योग $.........$ है।

यदि योग $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ $20$ पदों तक $\frac{k}{21}$ के बराबर है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{n}{{n + 2}}} \right) - {{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)} \right)} $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \dots (n \text{ पद}) = \frac{k n}{4(n + 1)}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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