श्रेणी frac{1}{1+1^2+1^4}+frac{2}{1+2^2+2^4}+ | vedclass

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Question

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = \frac{r}{1+r^2+r^4}$ है।हम जानते हैं कि $1+r^2+r^4 = (1+r^2)^2 - r^2 = (1+r^2-r)(1+r^2+r)$।अतः,$T_r = \frac{r}{(r^2-r+

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$\frac{55}{111}$

Vedclass · Answer

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = \frac{r}{1+r^2+r^4}$ है।हम जानते हैं कि $1+r^2+r^4 = (1+r^2)^2 - r^2 = (1+r^2-r)(1+r^2+r)$।अतः,$T_r = \frac{r}{(r^2-r+1)(r^2+r+1)}$।आंशिक भिन्न का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं:$T_r = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{r^2-r+1} - \frac{1}{r^2+r+1} \right]$।माना $f(r) = \frac{1}{r^2-r+1}$। तब $T_r = \frac{1}{2} [f(r) - f(r+1)]$।$10$ पदों का योग $S_{10} = \sum_{r=1}^{10} T_r = \frac{1}{2} [f(1) - f(11)]$ है।$f(1) = \frac{1}{1^2-1+1} = 1$।$f(11) = \frac{1}{11^2-11+1} = \frac{1}{121-11+1} = \frac{1}{111}$।इसलिए,$S_{10} = \frac{1}{2} [1 - \frac{1}{111}] = \frac{1}{2} [\frac{110}{111}] = \frac{55}{111}$।

श्रेणी $\frac{1}{1+1^2+1^4}+\frac{2}{1+2^2+2^4}+\frac{3}{1+3^2+3^4}+\ldots$ के $10$ पदों का योग ज्ञात कीजिए:

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 15} + \ldots + n \text{ पद} \right) =$

यदि $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \dots (n \text{ पद}) = \frac{k n}{n+1}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sum\limits_{r = 0}^{100} {(r^2 + 4r + 4)(r + 1)!}$ का मान :-

$\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{n}{{1 + {n^2}\left( {{n^2} - 2} \right)}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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