यदि $x > 1, y > 1, z > 1$ एक $G.P.$ में हैं,तो $\frac{1}{1 + \ln x}, \frac{1}{1 + \ln y}, \frac{1}{1 + \ln z}$ किसमें हैं?

फलन $f(\theta) = \alpha \tan^2 \theta + \beta \cot^2 \theta$ और $g(\theta) = \alpha \sin^2 \theta + \beta \cos^2 \theta$ के लिए, जहाँ $\alpha > \beta > 0$, मान लीजिए $\min_{0 < \theta < \pi/2} f(\theta) = \max_{0 < \theta < \pi} g(\theta)$ है। यदि एक गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) का प्रथम पद $(\frac{\alpha}{2\beta})$ है, इसका सार्व अनुपात $(\frac{2\beta}{\alpha})$ है और इसके प्रथम $10$ पदों का योग $\frac{m}{n}$ है, जहाँ $\gcd(m,n)=1$, तो $m+n$ का मान . . . . . . है।

एक $GP$ का $4^{\text{th}}$ पद $500$ है और इसका सार्व अनुपात $\frac{1}{m}$ है,जहाँ $m \in N$ है। मान लीजिए $S_n$ इस $GP$ के प्रथम $n$ पदों का योग दर्शाता है। यदि $S_6 > S_5+1$ और $S_7 < S_6+\frac{1}{2}$ है,तो $m$ के संभावित मानों की संख्या $..........$ है।

यदि $x$ को संख्याओं $3, 9, 21$ में से प्रत्येक में जोड़ा जाता है ताकि परिणामी संख्याएँ $G.P.$ में हों,तो $x$ का मान क्या होगा?

यदि एक $G.P.$ के तीन पदों का योग $19$ है और उनका गुणनफल $216$ है,तो श्रेणी का सार्व अनुपात क्या है?

यदि $64, 27, 36$ एक $GP$ के $P$ वें, $Q$ वें और $R$ वें पद हैं, तो $P+2Q$ किसके बराबर है?