यदि $^n{P_r} = 840$ और $^n{C_r} = 35$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S$ उन सभी सात-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है जिन्हें $0, 1$ और $2$ अंकों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए,$2210222$ समुच्चय $S$ में है,लेकिन $0210222$ समुच्चय $S$ में नहीं है। तो $S$ में ऐसे अवयवों $x$ की संख्या,जिनमें $0$ और $1$ अंकों में से कम से कम एक अंक ठीक दो बार आता है,वह $....$ के बराबर है।

विभिन्न आकारों के $10$ लाल और $5$ पीले गुलाब हैं। यदि $x$ इन सभी फूलों से बनाई जा सकने वाली मालाओं की संख्या है ताकि कोई भी दो पीले गुलाब एक साथ न आएं और $y$ इन सभी फूलों से बनी मालाओं की संख्या है ताकि सभी लाल गुलाब एक साथ आएं,तो $\frac{2(x-y)}{10!}=$

यदि ${}^n C_{r-1}=36$, ${}^n C_r=84$, और ${}^n C_{r+1}=126$ है, तो ${}^n C_8$ का मान ज्ञात कीजिए।

$15$ सेबों को तीन व्यक्तियों $A, B, C$ में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि $A$ और $C$ में से प्रत्येक को कम से कम $2$ सेब मिलें और $B$ को अधिकतम $5$ सेब मिलें।

यदि $^nC_r = ^nC_{r-1}$ और $^nP_r = ^nP_{r+1}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।