यदि 2f(x) + 3fleft(frac{1}{x}right) = x^2 + 1 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $2f(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right) = x^2 + 1$ (समीकरण $1$).$x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर: $2f\left(\frac{1}{x}\right) + 3f(x) = \f

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$\left(0, \frac{1}{2}\right)$

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(A) दिया गया है $2f(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right) = x^2 + 1$ (समीकरण $1$).$x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर: $2f\left(\frac{1}{x}\right) + 3f(x) = \frac{1}{x^2} + 1$ (समीकरण $2$).समीकरण $1$ को $2$ से और समीकरण $2$ को $3$ से गुणा करने पर:$4f(x) + 6f\left(\frac{1}{x}\right) = 2x^2 + 2$$9f(x) + 6f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3}{x^2} + 3$दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर: $5f(x) = \frac{3}{x^2} + 3 - 2x^2 - 2 = \frac{3}{x^2} - 2x^2 + 1$.अतः $y = 5x^2 f(x) = x^2 \left(\frac{3}{x^2} - 2x^2 + 1\right) = 3 - 2x^4 + x^2$.यह ज्ञात करने के लिए कि $y$ कहाँ निरंतर वर्धमान है,$\frac{dy}{dx} = -8x^3 + 2x = 2x(1 - 4x^2) = 2x(1 - 2x)(1 + 2x)$ ज्ञात करें।$\frac{dy}{dx} > 0$ रखने पर: $2x(1 - 2x)(1 + 2x) > 0$.क्रांतिक बिंदु $x = 0, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}$ हैं।अंतरालों की जाँच करने पर: $(-\infty, -1/2) \implies (-)(-)(-)  0$; $(0, 1/2) \implies (+)(+)(+) > 0$; $(1/2, \infty) \implies (+)(-)(+) इस प्रकार,$y$ अंतराल $(-\infty, -1/2) \cup (0, 1/2)$ में निरंतर वर्धमान है।विकल्पों की तुलना करने पर,$(0, 1/2)$ सही अंतराल है।

यदि $2f(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right) = x^2 + 1, x \neq 0$ और $y = 5x^2 f(x)$ है,तो $y$ किस अंतराल में निरंतर वर्धमान है?

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