यदि $z=x+iy$ और $z^{1/3}=p+iq$ है,जहाँ $x, y, p, q \in R$ और $i=\sqrt{-1}$,तो $\left(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\right)$ का मान क्या है?

मान लीजिए $z$ और $w$ दो भिन्न शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ हैं। यदि $|z|^2 w - |w|^2 z = z - w$ है,तो:

यदि समीकरण $4x^4 - 24x^3 + 57x^2 + 18x - 45 = 0$ का एक मूल $3 + i\sqrt{6}$ है,तो अन्य मूल ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$ पूर्णतः वास्तविक है,तो $\cos ^3 \theta+\sin ^2 \theta+\cos \theta+1=$

माना $z$ एक सम्मिश्र संख्या है जो $|z|^3 + 2z^2 + 4\bar{z} - 8 = 0$ को संतुष्ट करती है,जहाँ $\bar{z}$,$z$ का सम्मिश्र संयुग्मी है। माना $z$ का काल्पनिक भाग शून्य नहीं है।
सूची-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि को सूची-$II$ की सही प्रविष्टियों से सुमेलित करें।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(P)$ $|z|^2$ बराबर है	$(1)$ $12$
$(Q)$ $|z-\bar{z}|^2$ बराबर है	$(2)$ $4$
$(R)$ $|z|^2+|z+\bar{z}|^2$ बराबर है	$(3)$ $8$
$(S)$ $|z+1|^2$ बराबर है	$(4)$ $10$
	$(5)$ $7$

यदि समुच्चय $R = \{(a, b) : a + 5b = 42, a, b \in N\}$ में $m$ अवयव हैं और $\sum_{n=1}^m (1 - i^{n!}) = x + iy$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है,तो $m + x + y$ का मान ज्ञात कीजिए: