यदि int_0^a sqrt{frac{a-x}{x}} dx = frac{k}{2 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^a \sqrt{\frac{a-x}{x}} dx$ है। $x = a \sin^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2a \sin 	heta \cos 	heta d	heta$ प्राप्त होता

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$\pi a$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_0^a \sqrt{\frac{a-x}{x}} dx$ है। $x = a \sin^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2a \sin 	heta \cos 	heta d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब $	heta = 0$ और जब $x = a$,तब $	heta = \frac{\pi}{2}$। $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{a - a \sin^2 	heta}{a \sin^2 	heta}} (2a \sin 	heta \cos 	heta) d	heta$ $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos 	heta}{\sin 	heta} (2a \sin 	heta \cos 	heta) d	heta$ $I = 2a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 	heta d	heta$ सर्वसमिका $\cos^2 	heta = \frac{1 + \cos 2	heta}{2}$ का उपयोग करने पर: $I = 2a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2	heta}{2} d	heta = a \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2	heta) d	heta$ $I = a \left[ 	heta + \frac{\sin 2	heta}{2} ight]_0^{\frac{\pi}{2}} = a \left( \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 ight) = \frac{a\pi}{2}$। दिया गया है कि $\int_0^a \sqrt{\frac{a-x}{x}} dx = \frac{k}{2}$,अतः $\frac{a\pi}{2} = \frac{k}{2}$। अतः,$k = \pi a$।

यदि $\int_0^a \sqrt{\frac{a-x}{x}} dx = \frac{k}{2}$ है,तो $k = $

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