જો (x^2+y^2) dy = xy dx,જ્યાં y(x_0) = e અને | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2+y^2) dy = xy dx$. તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2+y^2}$. આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{3} e$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2+y^2) dy = xy dx$. તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2+y^2}$. આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2+(vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1+v^2)} = \frac{v}{1+v^2}$. $x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1+v^2} = -\frac{v^3}{1+v^2}$. ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{1+v^2}{v^3} dv = -\int \frac{dx}{x}$. $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\ln|x| + C$. $-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$. $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y/x| = -\ln|x| + C$. $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C$. $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$. $y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $-\frac{1^2}{2(1)^2} + \ln(1) = C \Rightarrow C = -\frac{1}{2}$. તેથી,$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$. $y(x_0) = e$ માટે: $-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2}$. $-\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x_0^2}{2e^2} = \frac{3}{2}$. $x_0^2 = 3e^2 \Rightarrow x_0 = \sqrt{3}e$.

જો $(x^2+y^2) dy = xy dx$,જ્યાં $y(x_0) = e$ અને $y(1) = 1$ હોય,તો $x_0$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

$(2, 1)$ માંથી પસાર થતા વક્ર માટે $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{x^2+y^2}{2xy}$ છે,તો વક્રનું સમીકરણ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y \frac{dy}{dx} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi(y^2/x^2)}{\phi'(y^2/x^2)} \right]$ નો ઉકેલ શોધો (જ્યાં $c$ અચળાંક છે):

દર્શાવો કે વિકલ સમીકરણ $y^{\prime} = \frac{x+y}{x}$ એ સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x y^{\prime} = 2 x e^{-y / x} + y$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module