यदि y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) ldots (nx+1)]^n है | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) \ldots (nx+1)]^n$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (logarithm) लेने पर: $\log y = n [\log(x+1) + \log(2x+1) +

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$\frac{n^2(n+1)}{2}$

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(B) दिया गया है $y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) \ldots (nx+1)]^n$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (logarithm) लेने पर: $\log y = n [\log(x+1) + \log(2x+1) + \log(3x+1) + \ldots + \log(nx+1)]$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = n \left[ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{2x+1} + \frac{3}{3x+1} + \ldots + \frac{n}{nx+1} \right]$। $x=0$ पर,$y = [(1)(1)(1) \ldots (1)]^n = 1^n = 1$। $x=0$ और $y=1$ का मान अवकलज समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{1} \left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=0} = n [1 + 2 + 3 + \ldots + n]$। योग सूत्र $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर: $\left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=0} = n \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] = \frac{n^2(n+1)}{2}$।

यदि $y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) \ldots (nx+1)]^n$ है,तो $x=0$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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