यदि y^{frac{1}{m}}+y^{-frac{1}{m}}=2x,जहाँ x | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $y^{\frac{1}{m}}+y^{-\frac{1}{m}}=2x$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(y^{\frac{1}{m}}+y^{-\frac{1}{m}})^2 = (2x)^2$,जिसका अर्थ है $y^{

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$m^2 y^2$

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(B) दिया गया है $y^{\frac{1}{m}}+y^{-\frac{1}{m}}=2x$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(y^{\frac{1}{m}}+y^{-\frac{1}{m}})^2 = (2x)^2$,जिसका अर्थ है $y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}+2 = 4x^2$,इसलिए $y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}} = 4x^2-2$ ... $(1)$ दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{m} y^{\frac{1}{m}-1} - \frac{1}{m} y^{-\frac{1}{m}-1} = 2 \frac{dx}{dy}$ प्राप्त होता है। $my$ से गुणा करने पर,$y^{\frac{1}{m}} - y^{-\frac{1}{m}} = 2my \frac{dx}{dy} = \frac{2my}{dy/dx}$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(y^{\frac{1}{m}}-y^{-\frac{1}{m}})^2 = \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$ प्राप्त होता है। यह सरल होकर $y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}-2 = \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$ ... $(2)$ हो जाता है। $(1)$ में से $(2)$ घटाने पर,$(y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}+2) - (y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}-2) = 4x^2 - \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$. $4 = 4x^2 - \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$. $4$ से विभाजित करने पर,$1 = x^2 - \frac{m^2y^2}{(dy/dx)^2}$ प्राप्त होता है। पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{m^2y^2}{(dy/dx)^2} = x^2-1$ प्राप्त होता है। अतः,$(x^2-1)(\frac{dy}{dx})^2 = m^2y^2$.

यदि $y^{\frac{1}{m}}+y^{-\frac{1}{m}}=2x$,जहाँ $x \neq 1$,तो $(x^2-1)(\frac{dy}{dx})^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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