यदि x=a(theta+sin theta) और y=a(1-cos theta) | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $x=a(	heta+\sin 	heta)$ और $y=a(1-\cos 	heta)$।सबसे पहले,$	heta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dx}{d	heta} = a(1+\cos 	heta)$

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$\frac{1}{a}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $x=a(	heta+\sin 	heta)$ और $y=a(1-\cos 	heta)$।सबसे पहले,$	heta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dx}{d	heta} = a(1+\cos 	heta)$ और $\frac{dy}{d	heta} = a\sin 	heta$।अब,श्रृंखला नियम का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d	heta}{dx/d	heta} = \frac{a\sin 	heta}{a(1+\cos 	heta)} = \frac{\sin 	heta}{1+\cos 	heta}$।सर्वसमिका $\sin 	heta = 2\sin(	heta/2)\cos(	heta/2)$ और $1+\cos 	heta = 2\cos^2(	heta/2)$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = 	an(	heta/2)$ प्राप्त होता है।अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{d	heta}\left(	an\frac{	heta}{2}ight) \cdot \frac{d	heta}{dx} = \frac{1}{2}\sec^2\frac{	heta}{2} \cdot \frac{1}{a(1+\cos 	heta)}$।चूंकि $1+\cos 	heta = 2\cos^2(	heta/2)$,इसलिए:$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2}\sec^2\frac{	heta}{2} \cdot \frac{1}{2a\cos^2(	heta/2)} = \frac{1}{4a\cos^4(	heta/2)}$।$	heta = \pi/2$ पर,$	heta/2 = \pi/4$ और $\cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$।$\left(\frac{d^2y}{dx^2}ight)_{	heta=\pi/2} = \frac{1}{4a(1/\sqrt{2})^4} = \frac{1}{4a(1/4)} = \frac{1}{a}$।

यदि $x=a(\theta+\sin \theta)$ और $y=a(1-\cos \theta)$ है,तो $\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)_{\theta=\pi / 2}=$

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