यदि x=log _eleft(frac{cos frac{y}{2}-sin frac | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $x=\log _{e}\left(\frac{\cos \frac{y}{2}-\sin \frac{y}{2}}{\cos \frac{y}{2}+\sin \frac{y}{2}}\right)$.अंश और हर को $\cos \frac{y}{2}$

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $x=\log _{e}\left(\frac{\cos \frac{y}{2}-\sin \frac{y}{2}}{\cos \frac{y}{2}+\sin \frac{y}{2}}ight)$.अंश और हर को $\cos \frac{y}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $e^x=\frac{1-	an \frac{y}{2}}{1+	an \frac{y}{2}} = 	an \left(\frac{\pi}{4}-\frac{y}{2}ight) \quad \dots(i)$.$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$e^x = \sec^2 \left(\frac{\pi}{4}-\frac{y}{2}ight) \cdot \left(-\frac{1}{2}ight) \frac{dy}{dx}$.अतः,$\frac{dy}{dx} = -2e^x \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}-\frac{y}{2}ight)$.जब $t=\frac{1}{2}$,$	an \frac{y}{2} = \sqrt{\frac{1-1/2}{1+1/2}} = \sqrt{\frac{1/2}{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.इसलिए,$\frac{y}{2} = \frac{\pi}{6}$.समीकरण $(i)$ में $\frac{y}{2} = \frac{\pi}{6}$ रखने पर,$e^x = 	an \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}ight) = 	an \frac{\pi}{12} = 2-\sqrt{3}$.अब,$\cos^2 \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}ight) = \cos^2 \frac{\pi}{12} = \left(\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}ight)^2 = \frac{3+1+2\sqrt{3}}{8} = \frac{4+2\sqrt{3}}{8} = \frac{2+\sqrt{3}}{4}$.अतः,$\left(\frac{dy}{dx}ight)_{t=\frac{1}{2}} = -2(2-\sqrt{3}) \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2}(4-3) = -\frac{1}{2}$.

यदि $x=\log _e\left(\frac{\cos \frac{y}{2}-\sin \frac{y}{2}}{\cos \frac{y}{2}+\sin \frac{y}{2}}\right)$ और $\tan \frac{y}{2}=\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}$ है,तो $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{t=\frac{1}{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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