यदि $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ का मान क्या है?

समीकरण $\sin ^{-1}\left(\sum_{i=1}^{\infty} x^{i+1}-x \sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^i\right)=\frac{\pi}{2}-\cos ^{-1}\left(\sum_{i=1}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^i-\sum_{i=1}^{\infty}(-x)^i\right)$ के अंतराल $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ में स्थित वास्तविक हलों की संख्या . . . . . है।

मान लीजिए $S = \{x \in R : 0 < x < 1 \text{ और } 2 \tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\}$ है। यदि $n(S)$,$S$ में अवयवों की संख्या को दर्शाता है,तो:

$\tan ^{-1} 2 + \cot ^{-1}(-3) + \cot ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = $

यदि $\cot \frac{2x}{3} + \tan \frac{x}{3} = \csc \frac{kx}{3}$ है,तो $\tan^{-1}(\tan k)$ का मान क्या होगा?

यदि ${\tan ^{ - 1}}x - {\tan ^{ - 1}}y = {\tan ^{ - 1}}A$ है,तो $A$ का मान क्या होगा?