यदि tan ^{-1}left(frac{x}{2}right)+tan ^{-1}l | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $	an ^{-1}\left(\frac{x}{2}ight)+	an ^{-1}\left(\frac{y}{2}ight)+	an ^{-1}\left(\frac{z}{2}ight)=\frac{\pi}{2}$.मान लीजिए

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$4$

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(D) दिया गया है कि $	an ^{-1}\left(\frac{x}{2}ight)+	an ^{-1}\left(\frac{y}{2}ight)+	an ^{-1}\left(\frac{z}{2}ight)=\frac{\pi}{2}$.मान लीजिए $A = 	an ^{-1}\left(\frac{x}{2}ight)$,$B = 	an ^{-1}\left(\frac{y}{2}ight)$,और $C = 	an ^{-1}\left(\frac{z}{2}ight)$.तब $A+B+C = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $A+B = \frac{\pi}{2}-C$.दोनों पक्षों में $	an$ लेने पर,हमें मिलता है $	an(A+B) = 	an\left(\frac{\pi}{2}-Cight) = \cot(C) = \frac{1}{	an(C)}$.सूत्र $	an(A+B) = \frac{	an A + 	an B}{1 - 	an A 	an B}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है $\frac{\frac{x}{2} + \frac{y}{2}}{1 - \frac{x}{2} \cdot \frac{y}{2}} = \frac{1}{z/2}$.यह सरल होकर $\frac{(x+y)/2}{(4-xy)/4} = \frac{2}{z}$ बनता है,जो $\frac{2(x+y)}{4-xy} = \frac{2}{z}$ है।$2$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $\frac{x+y}{4-xy} = \frac{1}{z}$.वज्र-गुणन करने पर $z(x+y) = 4-xy$,जिसका अर्थ है $zx + zy = 4 - xy$.पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $xy + yz + zx = 4$.

यदि $\tan ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{z}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$ है,तो $x y+y z+z x=$

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$k$ के उन सभी मानों का समुच्चय जिसके लिए $(\tan^{-1} x)^3 + (\cot^{-1} x)^3 = k \pi^3$,$x \in \mathbb{R}$,अंतराल है

मान लीजिए $S_{n} = \cot^{-1} 2 + \cot^{-1} 8 + \cot^{-1} 18 + \cot^{-1} 32 + \dots$ $n$ वें पद तक है। तो $\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n}$ है

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