જો ${D_r} = \left| \begin{array}{ccc} {2^{r - 1}} & {2 \cdot 3^{r - 1}} & {4 \cdot 5^{r - 1}} \\ x & y & z \\ {2^n} - 1 & {3^n} - 1 & {5^n} - 1 \end{array} \right|$ હોય,તો $\sum\limits_{r = 1}^n {D_r} = $ ની કિંમત શોધો.

$\left|\begin{array}{ccc}1 & bc+ad & b^2c^2+a^2d^2 \\ 1 & ca+bd & c^2a^2+b^2d^2 \\ 1 & ab+cd & a^2b^2+c^2d^2\end{array}\right|=$

જો $\Delta = \begin{vmatrix} x+y+z^2 & x^2+y+z & x+y^2+z \\ z^2 & x^2 & y^2 \\ x+y & y+z & x+z \end{vmatrix}$,(જ્યાં $x \neq y \neq z$ અને $x, y, z \in \mathbb{R} - \{0\}$),તો $\Delta = $ . . . . . . .

જો ${f_n}(x)$,${g_n}(x)$,${h_n}(x)$ જ્યાં $n = 1, 2, 3$ એ $x$ માં બહુપદીઓ છે,જેથી ${f_n}(a) = {g_n}(a) = {h_n}(a)$ જ્યાં $n = 1, 2, 3$,તો નિશ્ચાયક $F(x) = \left| \begin{matrix} {f_1}(x) & {f_2}(x) & {f_3}(x) \\ {g_1}(x) & {g_2}(x) & {g_3}(x) \\ {h_1}(x) & {h_2}(x) & {h_3}(x) \end{matrix} \right|$ ની કિંમત $x = a$ આગળ કેટલી થાય?

જો $x, y, z$ ભિન્ન હોય અને $\Delta=\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+x^{3} \\ y & y^{2} & 1+y^{3} \\ z & z^{2} & 1+z^{3}\end{array}\right|=0,$ હોય,તો સાબિત કરો કે $1+x y z=0$.

નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}a+b & a+2b & a+3b \\ a+2b & a+3b & a+4b \\ a+4b & a+5b & a+6b\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય શોધો.