यदि {D_r} = left| begin{array}{ccc} {2^{r - 1 | vedclass

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Question

(C) दिया गया है ${D_r} = \left| \begin{array}{ccc} {2^{r - 1}} & {2 \cdot 3^{r - 1}} & {4 \cdot 5^{r - 1}} \ x & y & z \ {2^n} - 1 & {3^n} - 1 & {5^

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$0$

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(C) दिया गया है ${D_r} = \left| \begin{array}{ccc} {2^{r - 1}} & {2 \cdot 3^{r - 1}} & {4 \cdot 5^{r - 1}} \ x & y & z \ {2^n} - 1 & {3^n} - 1 & {5^n} - 1 \end{array} ight|$.सारणिक पर योग $\sum\limits_{r = 1}^n$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\sum\limits_{r = 1}^n {D_r} = \left| \begin{array}{ccc} \sum\limits_{r = 1}^n {2^{r - 1}} & \sum\limits_{r = 1}^n {2 \cdot 3^{r - 1}} & \sum\limits_{r = 1}^n {4 \cdot 5^{r - 1}} \ x & y & z \ {2^n} - 1 & {3^n} - 1 & {5^n} - 1 \end{array} ight|$.गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र $\sum\limits_{k=0}^{n-1} ar^k = a\frac{r^n - 1}{r - 1}$ का उपयोग करते हुए:$\sum\limits_{r = 1}^n {2^{r - 1}} = \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$.$2\sum\limits_{r = 1}^n {3^{r - 1}} = 2 \cdot \frac{3^n - 1}{3 - 1} = 3^n - 1$.$4\sum\limits_{r = 1}^n {5^{r - 1}} = 4 \cdot \frac{5^n - 1}{5 - 1} = 5^n - 1$.इन मानों को सारणिक में रखने पर:$\sum\limits_{r = 1}^n {D_r} = \left| \begin{array}{ccc} 2^n - 1 & 3^n - 1 & 5^n - 1 \ x & y & z \ 2^n - 1 & 3^n - 1 & 5^n - 1 \end{array} ight|$.चूंकि पंक्ति $1$ $(R_1)$ और पंक्ति $3$ $(R_3)$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

यदि ${D_r} = \left| \begin{array}{ccc} {2^{r - 1}} & {2 \cdot 3^{r - 1}} & {4 \cdot 5^{r - 1}} \\ x & y & z \\ {2^n} - 1 & {3^n} - 1 & {5^n} - 1 \end{array} \right|$ है,तो $\sum\limits_{r = 1}^n {D_r} = $ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a - b}&{b - c}&{c - a} \\ {b - c}&{c - a}&{a - b} \\ {c - a + 1}&{a - b}&{b - c} \end{array}} \right| = 0$,जहाँ $a, b, c \in R - \{0\}$,तो:

यदि $\left|\begin{array}{ccc}a^{2} & b c & c^{2}+a c \\ a^{2}+a b & b^{2} & c a \\ a b & b^{2}+b c & c^{2}\end{array}\right|=k a^{2} b^{2} c^{2}$ है, तो $k=$

यदि $x, y, z$ समान नहीं हैं और $\neq 0, \neq 1$ हैं,तो $\begin{vmatrix} \log x & \log y & \log z \\ \log 2x & \log 2y & \log 2z \\ \log 3x & \log 3y & \log 3z \end{vmatrix}$ का मान क्या होगा?

$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & (x+1)x \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x+1)x(x-1) \end{array} \right|$ है, तो $f(100)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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