यदि a, b, c एक triangle ABC की भुजाएँ हैं और | vedclass

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Question

(B) दिया गया सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b \end{vmatrix} = 0$ है। सारणिक का विस्तार करने पर: $a(cb - a^2) - b(b

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$\frac{9}{4}$

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(B) दिया गया सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b \end{vmatrix} = 0$ है। सारणिक का विस्तार करने पर: $a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ba - c^2) = 0$. यह सरल होकर $3abc - (a^3 + b^3 + c^3) = 0$ हो जाता है। अतः $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$. सर्वसमिका $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ का उपयोग करने पर। चूंकि $a, b, c$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं,इसलिए $a+b+c 
eq 0$. अतः $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) = 0$. यह तभी संभव है जब $a = b = c$ हो। चूंकि $a = b = c$,त्रिभुज समबाहु है,इसलिए $A = B = C = 60^\circ$. अतः,$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = \sin^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$.

यदि $a, b, c$ एक $\triangle ABC$ की भुजाएँ हैं और $\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$ है,तो $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = $ . . . . . . .

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