यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो $n^{3}+2n$ किससे विभाज्य है?

मान लीजिए $P(n) = 3^{2n+1} + 2^{n+2}$ जहाँ $n \in N$ है। तब

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$3^{2n} - 1$,$8$ से विभाज्य है।

जब $P$ एक प्राकृतिक संख्या है,तो ${P^{n + 1}} + {(P + 1)^{2n - 1}}$ किससे विभाज्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए जहाँ $n \geq 2$:
$\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{4^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2n}$

सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए,यदि $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 > x$ है,तो $x=$