यदि cos alpha + 2 cos beta + 3 cos gamma = 0, | vedclass

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Question

(B) माना $z_1 = e^{i\alpha}$,$z_2 = e^{i\beta}$,और $z_3 = e^{i\gamma}$ है। दिया गया है कि $z_1 + 2z_2 + 3z_3 = 0$ है। यदि $x + y + z = 0$ हो,तो $x^3 +

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(B) माना $z_1 = e^{i\alpha}$,$z_2 = e^{i\beta}$,और $z_3 = e^{i\gamma}$ है। दिया गया है कि $z_1 + 2z_2 + 3z_3 = 0$ है। यदि $x + y + z = 0$ हो,तो $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ होता है। अतः,$z_1^3 + (2z_2)^3 + (3z_3)^3 = 3(z_1)(2z_2)(3z_3) = 18z_1 z_2 z_3$ होगा। घातांकीय रूप में लिखने पर: $e^{i3\alpha} + 8e^{i3\beta} + 27e^{i3\gamma} = 18e^{i(\alpha + \beta + \gamma)}$। चूंकि $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ है,इसलिए $18e^{i\pi} = 18(\cos \pi + i \sin \pi) = -18 + 0i$। काल्पनिक भाग की तुलना करने पर,$\sin 3 \alpha + 8 \sin 3 \beta + 27 \sin 3 \gamma = 0$ प्राप्त होता है।

यदि $\cos \alpha + 2 \cos \beta + 3 \cos \gamma = 0$,$\sin \alpha + 2 \sin \beta + 3 \sin \gamma = 0$ और $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ है,तो $\sin 3 \alpha + 8 \sin 3 \beta + 27 \sin 3 \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

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