मान लीजिए ${z_1}, {z_2}, {z_3}$ वृत्त $|z| = \frac{1}{2}$ के परिगत एक समबाहु त्रिभुज के तीन शीर्ष हैं। यदि ${z_1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}i}{2}$ है और ${z_1}, {z_2}, {z_3}$ वामावर्त दिशा में हैं,तो ${z_2}$ है

एक फलन $f$ सम्मिश्र संख्याओं पर $f(z) = (a + ib)z$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $a, b \in \mathbb{R}^+$ है। इस फलन का गुण यह है कि सम्मिश्र तल में किसी भी बिंदु का $f$-प्रतिबिंब उस बिंदु और मूलबिंदु से समान दूरी पर है। यदि $|a + bi| = 10$ और $b^2 = \frac{p}{q}$ है,जहाँ $p, q \in \mathbb{Z}$ और $\text{gcd}(p, q) = 1$ है,तो $p + q$ का मान ज्ञात कीजिए।

आर्गंड आरेख में,यदि $O, P$ और $Q$ क्रमशः मूल बिंदु,सम्मिश्र संख्या $z$ और सम्मिश्र संख्या $z + iz$ को दर्शाते हैं,तो कोण $\angle OPQ$ है

यदि $z$ एक सम्मिश्र संख्या है जिसका निरपेक्ष मान न्यूनतम है और $|z - 2 + 2i| = 1$ है,तो $z =$

यदि $A = \{z : |\frac{z - 2}{z + 2}| = 3, z \in C\}$ और $z_1, z_2, z_3, z_4 \in A$ सम्मिश्र तल पर बिंदुओं $P, Q, R, S$ को दर्शाने वाली $4$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं,इस प्रकार कि $z_1 - z_2 = z_4 - z_3$,तो चतुर्भुज $PQRS$ के क्षेत्रफल का अधिकतम मान क्या है?

$\Delta$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $z, \omega z, z + \omega z$ हैं (जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है):