यदि I_{n}=int_{0}^{pi / 4} tan ^{n} x d x है, | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन $I_{n} = \int_{0}^{\pi / 4} 	an ^{n} x d x$ है। हम $	an^{n} x$ को $	an^{n-2} x \cdot 	an^{2} x$ के रूप में लिख सकते हैं। सर्वस

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$\frac{1}{9}$

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(A) दिया गया समाकलन $I_{n} = \int_{0}^{\pi / 4} 	an ^{n} x d x$ है। हम $	an^{n} x$ को $	an^{n-2} x \cdot 	an^{2} x$ के रूप में लिख सकते हैं। सर्वसमिका $	an^{2} x = \sec^{2} x - 1$ का उपयोग करने पर: $I_{n} = \int_{0}^{\pi / 4} 	an^{n-2} x (\sec^{2} x - 1) d x$. $I_{n} = \int_{0}^{\pi / 4} 	an^{n-2} x \sec^{2} x d x - \int_{0}^{\pi / 4} 	an^{n-2} x d x$. माना $t = 	an x$,तो $dt = \sec^{2} x dx$ होगा। जब $x=0, t=0$ और जब $x=\pi/4, t=1$। $I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n-2} dt - I_{n-2}$. $I_{n} = \left[ \frac{t^{n-1}}{n-1} ight]_{0}^{1} - I_{n-2}$. $I_{n} = \frac{1}{n-1} - I_{n-2}$. अतः,$I_{n} + I_{n-2} = \frac{1}{n-1}$. $n=10$ के लिए,हमें $I_{10} + I_{8} = \frac{1}{10-1} = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।

यदि $I_{n}=\int_{0}^{\pi / 4} \tan ^{n} x d x$ है,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो $I_{10}+I_{8}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\sum_{k=1}^n \sin^{k-1} x\right) \left(\sum_{k=1}^n (2k-1) \sin^{k-1} x\right) \cos x \, dx$,जहाँ $n \in N$ है। तो $f_{21} - f_{20}$ का मान $...........$ है।

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x} d x=k \log 3$,तो $k=$

$\int_{0}^{1} \left( \prod_{r=1}^{n} (x+r) \right) \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x+k} \right) dx$ का मान क्या है?

$\int_0^1 |5x - 3| dx = $

$\int_0^1 x e^x \, dx = $ . . . . . .

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