यदि a

Question

(A) माना $f(x) = (\sin^{-1} x)^3 + (\cos^{-1} x)^3$ जहाँ $x \in [-1, 1]$ है।हम जानते हैं कि $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ होता है। माना

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(A) माना $f(x) = (\sin^{-1} x)^3 + (\cos^{-1} x)^3$ जहाँ $x \in [-1, 1]$ है।हम जानते हैं कि $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ होता है। माना $u = \sin^{-1} x$,जहाँ $u \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।तब $f(u) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3 = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = \frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8}$ है।यह $u$ में एक द्विघात समीकरण है। इसका शीर्ष $u = -\frac{b}{2a} = \frac{3\pi^2/4}{3\pi} = \frac{\pi}{4}$ पर है।चूँकि $u \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है,न्यूनतम मान $u = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है:$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{3\pi}{2}(\frac{\pi^2}{16}) - \frac{3\pi^2}{4}(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi^3}{8} = \frac{3\pi^3}{32} - \frac{3\pi^3}{16} + \frac{\pi^3}{8} = \frac{\pi^3}{32}$ है।अधिकतम मान सीमा $u = -\frac{\pi}{2}$ पर प्राप्त होता है:$f(-\frac{\pi}{2}) = (-\frac{\pi}{2})^3 + (\pi)^3 = -\frac{\pi^3}{8} + \pi^3 = \frac{7\pi^3}{8}$ है।अतः,$f(x)$ का परिसर $[\frac{\pi^3}{32}, \frac{7\pi^3}{8}]$ है।दिया गया है कि $a चूँकि व्यंजक का न्यूनतम मान $\frac{\pi^3}{32}$ है,इसलिए जब $a अतः,हलों की संख्या $0$ है।

यदि $a < \frac{1}{32}$ है,तो $(\sin^{-1} x)^3 + (\cos^{-1} x)^3 = a\pi^3$ के हलों की संख्या क्या है?

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