सिद्ध कीजिए कि $3 \cos ^{-1} x = \cos ^{-1} (4 x^{3} - 3 x)$,जहाँ $x \in [\frac{1}{2}, 1]$.

$x \in [\frac{1}{2}, 1]$ के लिए $3 \cos ^{-1} x = \cos ^{-1} (4 x^{3} - 3 x)$ सिद्ध करने के लिए।
माना $x = \cos \theta$. तब $\theta = \cos ^{-1} x$ है।
चूँकि $x \in [\frac{1}{2}, 1]$,इसलिए $\cos \theta \in [\frac{1}{2}, 1]$,जिसका अर्थ है कि $\theta \in [0, \frac{\pi}{3}]$।
$3$ से गुणा करने पर,हमें $3\theta \in [0, \pi]$ प्राप्त होता है।
अब,$R.H.S$ पर विचार करें:
$\cos ^{-1} (4 x^{3} - 3 x)$
$= \cos ^{-1} (4 \cos ^{3} \theta - 3 \cos \theta)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 3\theta = 4 \cos ^{3} \theta - 3 \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \cos ^{-1} (\cos 3\theta)$
चूँकि $3\theta \in [0, \pi]$,इसलिए $\cos ^{-1} (\cos 3\theta) = 3\theta$ होता है।
$= 3 \cos ^{-1} x = L.H.S$.
अतः,सर्वसमिका सिद्ध हुई।