સાબિત કરો કે $3 \cos ^{-1} x = \cos ^{-1} (4 x^{3} - 3 x)$,જ્યાં $x \in [\frac{1}{2}, 1]$.

$x \in [\frac{1}{2}, 1]$ માટે $3 \cos ^{-1} x = \cos ^{-1} (4 x^{3} - 3 x)$ સાબિત કરવા માટે.
ધારો કે $x = \cos \theta$. તેથી $\theta = \cos ^{-1} x$.
અહીં $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ હોવાથી,$\cos \theta \in [\frac{1}{2}, 1]$,જેનો અર્થ છે કે $\theta \in [0, \frac{\pi}{3}]$.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $3\theta \in [0, \pi]$ મળે છે.
હવે,$R.H.S$ ધ્યાનમાં લો:
$\cos ^{-1} (4 x^{3} - 3 x)$
$= \cos ^{-1} (4 \cos ^{3} \theta - 3 \cos \theta)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 3\theta = 4 \cos ^{3} \theta - 3 \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \cos ^{-1} (\cos 3\theta)$
અહીં $3\theta \in [0, \pi]$ હોવાથી,$\cos ^{-1} (\cos 3\theta) = 3\theta$ થાય.
$= 3 \cos ^{-1} x = L.H.S$.
આમ,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.