यदि ${\sin ^{ - 1}}a + {\sin ^{ - 1}}b + {\sin ^{ - 1}}c = \pi ,$ है,तो $a\sqrt {1 - {a^2}} + b\sqrt {1 - {b^2}} + c\sqrt {1 - {c^2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $x = \frac{m}{n}$ ($m, n$ सह-अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ हैं) समीकरण $\cos(2 \sin^{-1} x) = \frac{1}{9}$ का एक हल है और माना $\alpha, \beta$ $(\alpha > \beta)$ समीकरण $mx^2 - nx - m + n = 0$ के मूल हैं। तब बिंदु $(\alpha, \beta)$ किस रेखा पर स्थित है?

$\sin ^{-1}(1-x)-2 \sin ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$ को हल करें,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $f(x) = \cot \left( \sin^{-1} \sqrt{\frac{2}{3 + \cos 2x}} \right)$ है। तो $f'\left( \frac{2\pi}{3} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $(x, y)$ इस प्रकार हैं कि $\sin ^{-1}(a x)+\cos ^{-1}(y)+\cos ^{-1}(b x y)=\frac{\pi}{2}$। कॉलम $I$ के कथनों का कॉलम $II$ के कथनों से मिलान करें।

कॉलम $I$	कॉलम $II$
$(A)$ यदि $a=1$ और $b=0$,तो $(x, y)$	$(p)$ वृत्त $x^2+y^2=1$ पर स्थित है
$(B)$ यदि $a=1$ और $b=1$,तो $(x, y)$	$(q)$ $(x^2-1)(y^2-1)=0$ पर स्थित है
$(C)$ यदि $a=1$ और $b=2$,तो $(x, y)$	$(r)$ $y=x$ पर स्थित है
$(D)$ यदि $a=2$ और $b=2$,तो $(x, y)$	$(s)$ $(4x^2-1)(y^2-1)=0$ पर स्थित है

यदि $\tan^{-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{2x-1}{2x+1}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{23}{36}\right)$ है,तो $x =$