જો $\alpha, \beta$ એ $x^2+p x+q=0$ ના વાસ્તવિક બીજ હોય અને $\alpha^4, \beta^4$ એ $x^2-r x+s=0$ ના બીજ હોય,તો સમીકરણ $x^2-4 q x+2 q^2-r=0$ ને હંમેશા

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^5-5x^3+5x^2-1=0$ ના બે ભિન્ન ઋણ બીજ હોય,તો $\sqrt{-\alpha}$ અને $\sqrt{-\beta}$ બીજ ધરાવતું ન્યૂનતમ ઘાતવાળું પૂર્ણાંક સહગુણકો વાળું સમીકરણ કયું છે?

$2^{2010} \equiv 3x \pmod{5}$ નું સમાધાન કરતો ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક $x$ શોધો.

ધારો કે $\lambda \in R$ અને સમીકરણ $E$ એ $|x|^2 - 2|x| + |\lambda - 3| = 0$ છે. તો ગણ $S = \{x + \lambda : x \text{ એ } E \text{ નો પૂર્ણાંક ઉકેલ છે}\}$ માં સૌથી મોટો ઘટક $..........$ છે.

દ્વિઘાત સમીકરણ $nx^2 + 7\sqrt{n}x + n = 0$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $n$ એ ધન પૂર્ણાંક છે. નીચેનામાંથી કયા વિધાનો ચોક્કસપણે સાચા છે?
$I$. કોઈપણ $n$ માટે,બીજ ભિન્ન છે.
$II$. $n$ ની એવી અનંત કિંમતો છે જેના માટે બંને બીજ વાસ્તવિક છે.
$III$. બીજનો ગુણાકાર હંમેશા પૂર્ણાંક હોય છે.

જો તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ માટે $\left|\frac{x^2+k x+1}{x^2+x+1}\right| < 3$ હોય,તો પ્રાચલ $k$ નો વિસ્તાર શોધો.