यदि alpha और beta समीकरण x^5-5x^3+5x^2-1=0 के | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $x^5-5x^3+5x^2-1=0$. निरीक्षण द्वारा,$x=1$ एक मूल है। बहुपद का गुणनखंड करने पर: $(x-1)(x^4+x^3-4x^2+x+1)=0$. आगे गुणनखंड करने पर:

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$x^4-3x^2+1=0$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया समीकरण: $x^5-5x^3+5x^2-1=0$. निरीक्षण द्वारा,$x=1$ एक मूल है। बहुपद का गुणनखंड करने पर: $(x-1)(x^4+x^3-4x^2+x+1)=0$. आगे गुणनखंड करने पर: $(x-1)^2(x^3+2x^2-2x-1)=0$. $(x-1)^3(x^2+3x+1)=0$. मूल $x=1$ (त्रि-मूल) और $x=\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं। दो भिन्न ऋणात्मक मूल $\alpha = \frac{-3+\sqrt{5}}{2}$ और $\beta = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$ हैं। हमें $\sqrt{-\alpha}$ और $\sqrt{-\beta}$ मूलों वाला समीकरण चाहिए। माना $y = \sqrt{-\alpha} \Rightarrow y^2 = -\alpha$. चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+3x+1=0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha+\beta = -3$ और $\alpha\beta = 1$ है। नए मूल $y_1 = \sqrt{-\alpha}$ और $y_2 = \sqrt{-\beta}$ हैं। समीकरण $(y^2+\alpha)(y^2+\beta) = 0$ होगा। $y^4 + (\alpha+\beta)y^2 + \alpha\beta = 0$. मान रखने पर: $y^4 - 3y^2 + 1 = 0$.

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