यदि alpha_1, alpha_2, alpha_3, alpha_4, alpha | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $x^5 - 5x^4 + 9x^3 - 9x^2 + 5x - 1 = 0$ है। निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक मूल है,अतः $\alpha_1 = 1$ है। बहुपद को $(x-1)$ से विभाजित क

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$7$

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(C) दिया गया समीकरण $x^5 - 5x^4 + 9x^3 - 9x^2 + 5x - 1 = 0$ है। निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक मूल है,अतः $\alpha_1 = 1$ है। बहुपद को $(x-1)$ से विभाजित करने पर,हमें अपचयित समीकरण प्राप्त होता है: $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 = 0$। $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 4(x + \frac{1}{x}) + 5 = 0$ प्राप्त होता है। माना $x + \frac{1}{x} = a$ है। तब $x^2 + \frac{1}{x^2} = a^2 - 2$ होगा। इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(a^2 - 2) - 4a + 5 = 0$ प्राप्त होता है,जो $a^2 - 4a + 3 = 0$ में सरल हो जाता है। $a$ के लिए हल करने पर,हमें $(a - 3)(a - 1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $a = 1$ या $a = 3$ है। $a = 1$ के लिए,$x + \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x^2 - x + 1 = 0$ है। मूल $\alpha_2, \alpha_3$ हैं। चूँकि $x^2 - x + 1 = 0$ है,इसलिए $\frac{1}{x^2} = x - 1$ है। अतः $\frac{1}{\alpha_2^2} + \frac{1}{\alpha_3^2} = (\alpha_2 + \alpha_3) - 2 = 1 - 2 = -1$ है। $a = 3$ के लिए,$x + \frac{1}{x} = 3 \Rightarrow x^2 - 3x + 1 = 0$ है। मूल $\alpha_4, \alpha_5$ हैं। चूँकि $x^2 - 3x + 1 = 0$ है,इसलिए $\frac{1}{x^2} = 3x - 1$ है। अतः $\frac{1}{\alpha_4^2} + \frac{1}{\alpha_5^2} = 3(\alpha_4 + \alpha_5) - 2 = 3(3) - 2 = 7$ है। अंत में,$\frac{1}{\alpha_1^2} + \frac{1}{\alpha_2^2} + \frac{1}{\alpha_3^2} + \frac{1}{\alpha_4^2} + \frac{1}{\alpha_5^2} = \frac{1}{1^2} + (-1) + 7 = 1 - 1 + 7 = 7$ है।

यदि $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ समीकरण $x^5-5 x^4+9 x^3-9 x^2+5 x-1=0$ के मूल हैं,तो $\frac{1}{\alpha_1^2}+\frac{1}{\alpha_2^2}+\frac{1}{\alpha_3^2}+\frac{1}{\alpha_4^2}+\frac{1}{\alpha_5^2}=$

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